试题

如图1，△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．
（如果你经过思考后不能找到问题的答案，可选择以下两个问题来完成）
①将△ABC与△ADE改为等边三角形，其他条件不变，如图2．
②将原题改为探究线段BD与EC的数量关系．

解：连接CE，在EF上截取CN=CF，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中

AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°-∠BDA=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BDF=∠NEC，
在△BDF和△CEN中，

∠BFD=∠CNE ∠BDF=∠CEN BD=CE

，
∴△BDF≌△CEN（AAS），
∴BF=CN=CF，
即BF=CF．
解：连接CE，在EF上截取CN=CF，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中

AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°-∠BDA=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BDF=∠NEC，
在△BDF和△CEN中，

∠BFD=∠CNE ∠BDF=∠CEN BD=CE

，
∴△BDF≌△CEN（AAS），
∴BF=CN=CF，
即BF=CF．