试题

已知，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，AE=CD，连接AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q
（1）求∠BPD的度数；
（2）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

解：（1）∵AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△ACD中

AE=DC ∠BAE=∠C AB=AC

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．

（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=7，
∴AD=BE=7．
解：（1）∵AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△ACD中

AE=DC ∠BAE=∠C AB=AC

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．

（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=7，
∴AD=BE=7．