试题

如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：
（1）AE⊥BE；
（2）AE、BE分别平分∠BAD及∠ABC．

证明：（1）过E作EF∥BC，
∵E是CD的中点，
∴F为AB中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
则EF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

AB，
∴AE⊥BE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；

（2）∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD∥EF，
∴∠AEF=∠EAD，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴∠EAD=∠EAF，
∴AE平分∠BAD，
同理可证得：BE平分∠ABC．
证明：（1）过E作EF∥BC，
∵E是CD的中点，
∴F为AB中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
则EF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

AB，
∴AE⊥BE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；

（2）∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD∥EF，
∴∠AEF=∠EAD，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴∠EAD=∠EAF，
∴AE平分∠BAD，
同理可证得：BE平分∠ABC．