试题

题目：
青果学院如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．
（1）说明AE=CD的理由；
（2）如果DE⊥BC，试判断直线BE与AC的位置关系，并说明理由．
答案
证明：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB
∠ABE=∠CBD
BE=BD
，
∴△ABE≌△CBD，
青果学院∴AE=CD；

（2）延长BE交AC于点F．
∵DE⊥BC，△BDE是等边三角形，
∴∠FBC=
1
2
∠EBD=
1
2
×60°=30°，
又∵等边△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠BFC=90°，
∴BE⊥AC．
证明：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB
∠ABE=∠CBD
BE=BD
，
∴△ABE≌△CBD，
青果学院∴AE=CD；

（2）延长BE交AC于点F．
∵DE⊥BC，△BDE是等边三角形，
∴∠FBC=
1
2
∠EBD=
1
2
×60°=30°，
又∵等边△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠BFC=90°，
∴BE⊥AC．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）根据△ABC和△BDE是等边三角形，依据等边三角形的每个角都是60°，即可证得∠ABC=∠EBD=60°，然后根据等式的性质即可证得∠ABE=∠CBD，利用SAS即可证得△ABE≌△CBD，然后依据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）延长BE交AC于点F，依据三线合一定理即可证得∠FAC=
1
2
∠EBD=
1
2
×60°=30°，然后根据等边△ABC中，∠ACB=60°，即可证得∠BFC=90°，则BE⊥AC．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确依据等边三角形的性质证得∠ABE=∠CBD是关键．
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