试题

如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN，试判断△BMN的形状，并说明理由．

解：△BMN为等边三角形．理由如下：
∵等边△ABD、等边△BCE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AB=DB，BE=CB，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠CDB=∠BAE，
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD，
在△ABM和△DBN中

∠BDC=∠BAE DB=AB ∠ABD=∠DBE

，
∴△ABM≌△DBN，
∴BM=BN，
∵∠DBE=60°，
∴△BMN是等边三角形．
∴BD∥CE，
同理可证AD∥BE，
即可得△BCN∽△ACD，△ABM∽△ACE，
∴

BM

CE

=

AB

AC

，

BN

AD

=

BC

AC

，
∵BC=CE，AD=AB，
∴BM=BN，
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°，
∴△BMN为等边三角形．
解：△BMN为等边三角形．理由如下：
∵等边△ABD、等边△BCE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AB=DB，BE=CB，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠CDB=∠BAE，
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD，
在△ABM和△DBN中

∠BDC=∠BAE DB=AB ∠ABD=∠DBE

，
∴△ABM≌△DBN，
∴BM=BN，
∵∠DBE=60°，
∴△BMN是等边三角形．
∴BD∥CE，
同理可证AD∥BE，
即可得△BCN∽△ACD，△ABM∽△ACE，
∴

BM

CE

=

AB

AC

，

BN

AD

=

BC

AC

，
∵BC=CE，AD=AB，
∴BM=BN，
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°，
∴△BMN为等边三角形．