试题

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．

（1）证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C．
在△DBE和△ECF中
∵

BE=CF ∠B=∠C BD=EC

，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．
∴DEF是等腰三角形．

（2）解：∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．
∴∠BDE+∠DEB=110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

（3）解：假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．
∴∠B=∠C=90°．
∴这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）猜想∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°．
∵∠A=60°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠BDE+∠DEB=120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=120°，
∴∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．
（1）证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C．
在△DBE和△ECF中
∵

BE=CF ∠B=∠C BD=EC

，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．
∴DEF是等腰三角形．

（2）解：∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．
∴∠BDE+∠DEB=110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

（3）解：假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．
∴∠B=∠C=90°．
∴这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）猜想∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°．
∵∠A=60°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠BDE+∠DEB=120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=120°，
∴∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．