试题

如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE=CD，连接BE，与AD交于点P，过点B作BQ⊥AD于Q，
（1）求∠BPD的大小；
（2）若PQ=4，PE=2，求AD的长．

解：（1）∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，即∠BPD的度数为60°；

（2）在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=4，
∴BP=2PQ=8，
又∵PE=2，
∴BE=BP+PE=10．
∵由（1）知，△ABD≌△BCE，
∴AD=BE=10．
解：（1）∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，即∠BPD的度数为60°；

（2）在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=4，
∴BP=2PQ=8，
又∵PE=2，
∴BE=BP+PE=10．
∵由（1）知，△ABD≌△BCE，
∴AD=BE=10．