试题

已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°．
求证：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．

解：（1）①证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD；
∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°
又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC；
∵∠FDB=∠CDA=90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF=DC；
∵GF∥BC，∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG；
∴FG+DC=FA+DF=AD．

（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．
理由：∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD=AD，FG=AF=AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°，
∴∠DFB=∠DCA；
又∵∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF=DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．
解：（1）①证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD；
∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°
又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC；
∵∠FDB=∠CDA=90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF=DC；
∵GF∥BC，∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG；
∴FG+DC=FA+DF=AD．

（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．
理由：∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD=AD，FG=AF=AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°，
∴∠DFB=∠DCA；
又∵∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF=DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．