试题

如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足

a-4

+|4-b|=0，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

解：①∵

a-4

+|4-b|=0
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）作∠AOB的角平分线，交BD于G，
∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA，
∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，
∴△BOG≌△OAE，
∴OG=AE．
∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD，
∴△GOD≌△EDA．
∴∠GDO=∠ADE．

（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BPM=90°，
∴∠BPO+∠MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，
∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．
∵BP=MP，
∴△PBO≌△MPN，
MN=OP，PN=AO=BO，
OP=OA+AP=PN+AP=AN，
∴MN=AN，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴∠BAO+∠OAQ=90°
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴无论P点怎么动OQ的长不变．
解：①∵

a-4

+|4-b|=0
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）作∠AOB的角平分线，交BD于G，
∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA，
∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，
∴△BOG≌△OAE，
∴OG=AE．
∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD，
∴△GOD≌△EDA．
∴∠GDO=∠ADE．

（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BPM=90°，
∴∠BPO+∠MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，
∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．
∵BP=MP，
∴△PBO≌△MPN，
MN=OP，PN=AO=BO，
OP=OA+AP=PN+AP=AN，
∴MN=AN，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴∠BAO+∠OAQ=90°
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴无论P点怎么动OQ的长不变．