试题

（2007·北塘区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，BC=4cm，点P、Q分别从A、C两点出发，点P沿射线AB、点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速直线运动．
（1）求∠B的度数；
（2）若P、Q同时出发，当AP的长为何值时，S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半？
（3）设PQ交直线CD于点E，作PF⊥CD于F，若Q点比P点先出发2秒，请问EF的长是否改变？证明你的结论．

解：（1）过A点作AG⊥BC，垂足为G，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴BG=1，
∴cosB=

BF

AB

=

1

2

，
∴∠B=60°；

（2）在Rt△AGB中，
AG=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AG=3

3

，
设经过时间t（t≤2）后，S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半，
CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×

3

2

，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ·h=

1

2

t·（2-t）×

3

2

，
当S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半时，

1

2

t·（2-t）×

3

2

=

3 3

2

，
解得t不存在，
当t＞2时，
P点在AB的延长线上，
△CPD的高h=（t-2）×

3

2

，CQ=t，
当S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半时，

1

2

t·（t-2）×

3

2

=

3 3

2

，
解得t=1+

7

s；

（3）设BC中点为H，连接AH，DH，
作辅助线PX∥BC交CD于Y，交AH为X，
显然三角形APX是正三角形，AP=PX；
AYXD是平行四边形，AD=XY．
由于PY∥BC，很容易得出△PYE∽△CQE，
又Q点比P点先出发2秒，均以1cm/s的速度作匀速直线运动，
就是说CQ比AP长2cm，
CQ=2+AP，
同时PX=XY+PX=AD+AP=2+AP，
∴CQ=PY，
∴PYE与CQE全等，YE=EC，
∵PY∥BC而梯形ABCD是底角为60度的等腰梯形，
∠FYP=60°，
∴FY=PY·cos60°=

1

2

PY=

1

2

（PX+XY）=

1

2

（AP+2）=

1

2

AP+1
∵PY∥BC，所以APXD也是底角为60°的等腰梯形AP=DX，且AP：PB=DX：XC，而XE=EC，
∴YE=

1

2

（DC-DY）=

1

2

（2-DY）=

1

2

（2-AP）=1-

1

2

AP，
FE=FY+YD=

1

2

AP+1+1-

1

2

AP=2，
故EF的长度不变．
解：（1）过A点作AG⊥BC，垂足为G，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴BG=1，
∴cosB=

BF

AB

=

1

2

，
∴∠B=60°；

（2）在Rt△AGB中，
AG=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AG=3

3

，
设经过时间t（t≤2）后，S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半，
CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×

3

2

，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ·h=

1

2

t·（2-t）×

3

2

，
当S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半时，

1

2

t·（2-t）×

3

2

=

3 3

2

，
解得t不存在，
当t＞2时，
P点在AB的延长线上，
△CPD的高h=（t-2）×

3

2

，CQ=t，
当S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半时，

1

2

t·（t-2）×

3

2

=

3 3

2

，
解得t=1+

7

s；

（3）设BC中点为H，连接AH，DH，
作辅助线PX∥BC交CD于Y，交AH为X，
显然三角形APX是正三角形，AP=PX；
AYXD是平行四边形，AD=XY．
由于PY∥BC，很容易得出△PYE∽△CQE，
又Q点比P点先出发2秒，均以1cm/s的速度作匀速直线运动，
就是说CQ比AP长2cm，
CQ=2+AP，
同时PX=XY+PX=AD+AP=2+AP，
∴CQ=PY，
∴PYE与CQE全等，YE=EC，
∵PY∥BC而梯形ABCD是底角为60度的等腰梯形，
∠FYP=60°，
∴FY=PY·cos60°=

1

2

PY=

1

2

（PX+XY）=

1

2

（AP+2）=

1

2

AP+1
∵PY∥BC，所以APXD也是底角为60°的等腰梯形AP=DX，且AP：PB=DX：XC，而XE=EC，
∴YE=

1

2

（DC-DY）=

1

2

（2-DY）=

1

2

（2-AP）=1-

1

2

AP，
FE=FY+YD=

1

2

AP+1+1-

1

2

AP=2，
故EF的长度不变．