试题

（2008·石景山区二模）已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图②．
（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S₁、S₂、S₃，则S₁+S₂+S3

＜

＜

3

（用“＜、=、＞”填空）

（2）已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO的面积分别为S₁、S₂、S₃；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）

解：（1）S₁+S₂+S₃＜

3

（2分）

（2）结论成立（3分）
证明一：延长OB到H使BH=OE
延长OA到G使AG=OD
连接HG（4分）
∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GHO是等边三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S_△GHO=

3

（5分）
在HG上取点M，使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
∴HM=OF
在△MGA和△COD中，

MG=CO ∠G=∠COD=60° GA=OD

∴△MGA≌△COD
同理可证：△MHB≌△FOE（6分）
∴S₂=S_△MHB，S₃=S_△MGA
由图形可知：S_△ABO+S_△MHB+S_△MGA＜S_△GHO，
∴S₁+S₂+S₃＜S_△GHO=

3

即S₁+S₂+S₃＜

3

．