试题

如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=

1

4

∠ABC，其中正确的结论是（　　）
A．①②③
B．①④
C．①②③④
D．①②

C
解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE=

1

2

∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABE=∠EBC=∠C，
∴BE=EC，∴①正确；
∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB 
∴△ABE∽△ACB，
∴

AE

AB

=

AB

AC

，
∴AB²=AE×AC，
在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：AF²=AB²-BF²=AE²-EF²，
把 AB²=AE×AC代入入上式得：
AE×AC-BF²=AE²-EF²，
则BF²=AC×AE-AE²+EF²=AE×（AC-AE）+EF²=AE×EC+EF²=AE×BE+EF²，
即（BE-EF）²=AE×BE+EF²，
∴BE²-2BE×EF+EF²=AE×BE+EF²，
∴BE²-2BE×EF=AE×BE，
∴BE-2EF=AE，
BE-EF=AE+EF，
即BF=AE+EF，∴②正确；
延长AB到N′，使BN=BM，连接MN′，则△BMN′为等腰三角形，
∴∠BN′M=∠BMN′，
△BN′M的一个外角∠ABC=∠BN′M+∠BM′N=2∠BN′M，
则∠BN′M=∠ACB，
在△AMC与△AMN′中

∠MAC=∠MAN′ ∠C=∠N′ AM=AM

，
∴△AMC≌△AMN′（AAS），
∴AN′=AC=AB+BN′=AB+BM，
又∵AL⊥BE，
∴∠AFB=∠LFB=90°，
 在△AFB与△LFB中，

∠AFB=∠LFB BF=BF ∠ABF=∠LBF

，
∴△AFB≌△BLF（ASA），
∴AB=BL，
则AN′=AC=AB+BN′=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正确；
设∠LAC=x°，∠LAM=y°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°．
∵△AFB≌△BLF，
∴∠BAF=∠BLF，
∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，
∴x°+y°+y°=∠C+x°，
∴∠C=2y°，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=4y°，
即∠MAL=

1

4

∠ABC，
∴④正确．
故选C．