试题

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=1，O为AC中点，OE⊥OD交AB于E，EF⊥CD于F，交AC于M，BO延长线交DC于G，则下列结论：①EO=DO；②OM=OG；③BC=2AD；④四边形AEOD的面积为

1

4

．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④

C
解：∵△ABC中AB=BC，O为AC中点，且∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，BO为△ABC斜边上的中垂线，BO=AO=OC，
且∠BAC=∠ACB=∠ABG=∠GBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ABG．
四边形ADOE中，DA⊥AB，OD⊥OE，那么∠ADO=180°-∠AEO=∠BEO，
又由BO=AO，那么根据BO=AO，∠ADO=∠BEO，∠DAC=∠ABG，
可得出△BEO≌△ADO，因此EO=DO，∠AOD=∠BOE；
∵BO⊥OC（BO为△ABC斜边上的中垂线），那么∠DOG=90°-∠AOD=90°-∠BOE=∠EOM，
如果设OD与EF交于N，
在直角△DFN和直角△EON中，
∵OD⊥OE，EF⊥CD，
∴∠MEO=90°-∠ENO=90°-∠DNF=∠NDF，
因此由∠MEO=∠NDF，∠DOG=∠EOM，EO=OD可得出△EMO≌△DGO，
∴OM=OG，
∵△ADO≌△BEO，
∴S_△ADO=S_△BEO，
所以S_·ADOE=S_△ADO+S_△AEO=S_△AOB=

1

2

S_△ABC=

1

4

．
因此本题中①②④是正确的．
故选C．