试题

题目：
如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作青果学院DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
答案
青果学院解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴
PD
CA
=
PB
CB
，CE=PD．
∴PD=
CA×PB
CB
=
30×4x
20
=6x．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴
CF
CA
=
CE
CB
．
∴CF=
CA×CE
CB
=
30×6x
20
=9x．
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x=
20
9
．

（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x=
20
13
．
当0＜x＜
20
13
时，如图①，
y=
PD(PF+DE)
2
=
6x(20-13x+20-4x)
2

=-51x2+120x．
当
20
13
≤x≤
20
9
时，如图②，
y=
1
2
DE×DG
=
1
2
(20-4x)·
2
3
(20-4x)=
1
3
（20-4x）2．
（或y=
16
3
x2-
160
3
x+
400
3
）．
青果学院解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴
PD
CA
=
PB
CB
，CE=PD．
∴PD=
CA×PB
CB
=
30×4x
20
=6x．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴
CF
CA
=
CE
CB
．
∴CF=
CA×CE
CB
=
30×6x
20
=9x．
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x=
20
9
．

（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x=
20
13
．
当0＜x＜
20
13
时，如图①，
y=
PD(PF+DE)
2
=
6x(20-13x+20-4x)
2

=-51x2+120x．
当
20
13
≤x≤
20
9
时，如图②，
y=
1
2
DE×DG
=
1
2
(20-4x)·
2
3
(20-4x)=
1
3
（20-4x）2．
（或y=
16
3
x2-
160
3
x+
400
3
）．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）证出△DBP∽△ABC得到
PD
CA
=
PB
CB
，即利用相似三角形的性质得到PD与x的关系；
（2）证出△CEF∽△CBA得到
CF
CA
=
CE
CB
，利用相似三角形的性质得到CF与x的关系，又知CF=CB，据此求出x的值；
（3）由于图①中重叠部分为梯形，根据梯形面积公式建立起y和x的函数关系式；由于图②中重叠部分为三角形，根据三角形面积公式建立起y和x的函数关系式．
本题是一道代数几何综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，同时要熟悉梯形与三角形的面积公式．
代数几何综合题；压轴题．
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