试题

如图，在△ABC中，∠A=50°，AB＞AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，BE、CD相交于O点，∠BCD=∠EBC，M为BE上一点，∠OCM=∠OBD．  
（1）求证：CM=CE；
（2）求∠BOC的度数．

（1）证明：∵∠BCD=∠EBC，∠OCM=∠OBD，
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD，
即∠BCM=∠CBD，
在△BCM和△CBD中，

∠BCM=∠CBD BC=BC ∠BCD=∠EBC

，
∴△BCM≌△CBD（ASA），
∴BD=CM，
∵BD=CE，
∴CM=CE；

（2）解：设∠ABE=x，∠EBC=y，
∵∠A=50°，
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°，
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2（x+50°）=80°-2x，
∵∠BCM=∠CBD=x+y，
∴在△ABC中，∠A+∠CBD+∠BCE=180°，
即50°+（x+y）+（x+y+80°-2x）=180°，
整理得，2y=50°，
解得y=25°，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°．
（1）证明：∵∠BCD=∠EBC，∠OCM=∠OBD，
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD，
即∠BCM=∠CBD，
在△BCM和△CBD中，

∠BCM=∠CBD BC=BC ∠BCD=∠EBC

，
∴△BCM≌△CBD（ASA），
∴BD=CM，
∵BD=CE，
∴CM=CE；

（2）解：设∠ABE=x，∠EBC=y，
∵∠A=50°，
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°，
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2（x+50°）=80°-2x，
∵∠BCM=∠CBD=x+y，
∴在△ABC中，∠A+∠CBD+∠BCE=180°，
即50°+（x+y）+（x+y+80°-2x）=180°，
整理得，2y=50°，
解得y=25°，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°．