试题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点．

解：如图所示，过点E作EG⊥AB，
∵△ABE是等边三角形，EG⊥AB，
∴AG=BG=

1

2

AB，
由勾股定理得：EG=

3

AG，
∵∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∴AG=BC=

1

2

AB，
∵由勾股定理得：AC=

3

BC，
∴EG=AC，
∵∠DAB=60°+30°=90°，
∴DA⊥AB．
∴DA∥EG．
∴∠ADE=∠FEG，∠DAF=∠FGE=90°，
在△ADF与△GEF中，
∵

∠ADE=∠FEG ∠DAF=∠FGE=90° EG=AD

，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴DF=EF．
即F为DE的中点．
解：如图所示，过点E作EG⊥AB，
∵△ABE是等边三角形，EG⊥AB，
∴AG=BG=

1

2

AB，
由勾股定理得：EG=

3

AG，
∵∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∴AG=BC=

1

2

AB，
∵由勾股定理得：AC=

3

BC，
∴EG=AC，
∵∠DAB=60°+30°=90°，
∴DA⊥AB．
∴DA∥EG．
∴∠ADE=∠FEG，∠DAF=∠FGE=90°，
在△ADF与△GEF中，
∵

∠ADE=∠FEG ∠DAF=∠FGE=90° EG=AD

，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴DF=EF．
即F为DE的中点．