试题

设P是等腰直角三角形ABC的斜边AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥EF于G，在GP的延长线上取点D，使PD=PB，则BC与CD之间必有关系（　　）
A．相等但不垂直
B．不相等但垂直
C．既相等又垂直
D．既不相等也不垂直

C
解：
∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∠ABC=90°，
∴BEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），
∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵PG⊥EF，
∴∠PEF+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠APE=∠CPF=45°，
∴∠APE+∠2=∠CPF+∠1，
即∠APG=∠CPB，
∵∠CPD=∠APG，
∴∠CPD=∠CPB，
又PB=PD，PC是公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴BC=CD，∠PCB=∠PCD=45°，
∴∠PCB+∠PCD=90°，
即BC⊥CD．
故选C．