试题

题目：
如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河青果学院边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值为
13
13
．
答案
13

解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=
(8-x)2+25
，BE=
x2+1
，
∴AE+BE=
(8-x)2+25
+
x2+1
；

（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．
过点B作BF⊥AC于F，则有BF=CD=8，BD=CF=1．∴AF=AC+CF=6．青果学院
在Rt△ABF中，BA=
AF2+BF2
=
62+82
=10，
∴此时最少需要管道10km．

（3）根据以上推理，可作出下图：
设ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．
当A、E、B共线时
x2+4
+
(12-x)2+9
=
(3+2)2+122
=13，即其最小值为13．
考点梳理
勾股定理的应用．
（1）∵ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
（3）根据AE+BE=
(8-x)2+25
+
x2+1
=AB=10，可猜想所求代数式的值为13．
本题是一道生活联系实际的题目，综合性较强，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，有一定的难度．
应用题．
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