试题

题目：
青果学院（2008·邵阳）如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心、OA1为半径作扇形OA1C1，
A1C1
与OB1相交于点B2，设正方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2C2，
A2C2
与OB1相交于点B3，设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设正方形OAnBnCn与扇形OAnCn之间的阴影部分面积为Sn．
（1）求S1，S2，S3；
（2）写出S2008；
（3）试猜想Sn（用含n的代数式表示，n为正整数）．
答案
解：
（1）S1=12-
1
4
·π·12=1-
π
4
；
由勾股定理得：OA22+A2B22=OB22=12，
∴OA2=
2
2
，
S2=(
2
2
)2-
1
4
·π·(
2
2
)2=
1
2
-
π
8
；
S3=(
2
2
×
2
2
)2-
1
4
·π·(
2
2
×
2
2
)2=
1
4
-
π
16
；

（2）S2008=
1
22007
-
π
22009
；

（3）Sn=
1
2n-1
-
π
2n+1
（n为正整数）．
解：
（1）S1=12-
1
4
·π·12=1-
π
4
；
由勾股定理得：OA22+A2B22=OB22=12，
∴OA2=
2
2
，
S2=(
2
2
)2-
1
4
·π·(
2
2
)2=
1
2
-
π
8
；
S3=(
2
2
×
2
2
)2-
1
4
·π·(
2
2
×
2
2
)2=
1
4
-
π
16
；

（2）S2008=
1
22007
-
π
22009
；

（3）Sn=
1
2n-1
-
π
2n+1
（n为正整数）．
考点梳理
扇形面积的计算；正方形的性质．
根据阴影部分的面积是正方形的面积减去所对应的扇形的面积可求解，所以可分别计算出S1=1-
1
4
π，S2=
1
2
-
π
8
，S3=
1
4
-
π
16
；那么Sn=
1
2n-1
-
π
2n+1
（n为正整数）．可据此求出当n=2008时，S的值．
主要考查了正方形的性质和扇形的面积公式．本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
压轴题；规律型．
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