试题

（2009·内江）阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

1

2

AB·r₁+

1

2

AC·r₂=

1

2

AC·h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A₁A₂…A_n，内部任意一点P到各边的距离为r₁r₂…r_n，请问r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

解：（1）过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，
∵BE=BC=3，∠EBH=45°，
∴EH=

3 2

2

，
∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，
∴

1

2

BE×FN+

1

2

BC×FM=

1

2

BC×EH，
∵BE=BC，
∴FN+FM=EH=

3 2

2

．

（2）连接PA，PB，PC，
∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，
∴

1

2

BC·r₁+

1

2

AC·r₂+

1

2

AB·r₃=

1

2

BC·h，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=h．

（3）设n边形的边心距为r，则：r₁+r₂+…+r_n=nr（定值）．
解：（1）过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，
∵BE=BC=3，∠EBH=45°，
∴EH=

3 2

2

，
∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，
∴

1

2

BE×FN+

1

2

BC×FM=

1

2

BC×EH，
∵BE=BC，
∴FN+FM=EH=

3 2

2

．

（2）连接PA，PB，PC，
∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，
∴

1

2

BC·r₁+

1

2

AC·r₂+

1

2

AB·r₃=

1

2

BC·h，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=h．

（3）设n边形的边心距为r，则：r₁+r₂+…+r_n=nr（定值）．