试题

（1998·温州）如图，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一点，过P作EF∥AB，分别交AD，BC于点E、F，CP的延长线交AD于点G，O是PC的中点，FO的延长线交DC于点K．
（1）求证：PF=CK；
（2）设DG=x，△CKO的面积为S₁，四边形POKD的面积为S₂，y=

S1

S2

．求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并在下面的直角坐标系中画出这个函数的图象．

（1）证明：直角三角形PFC中，
∵O是斜边PC的中点，
∴OP=OF=OC，
∴∠PCF=∠KFC，
∵∠PFC=∠KCF=90°，FC=FC，
∴△PCF≌△KFC，
∴PF=CK；

（2）解：过O作OH⊥CD于H，
∵PF=CD，PF∥CK，
∴四边形PFCK应该是矩形，
∴O也平分KF，
∴OH是三角形KFC的中位线，
∴OH=

1

2

FC，
∵GD∥BC，
∴△GPD∽△CPB，
∴

GD

BC

=

PE

PF

，
∵GD=x，BC=CD=1，PE+PF=1，
∴

x

1

=

1-PF

PF

，
∴PF=CK=

1

x+1

，
∴S_△CKO=

1

2

·CK·OH=

1

2x+2

·OH，
∵S_△CPD=

1

2

·CD·CF=

1

2

·CF=OH，
∴S_POKD=S_△CPD-S_△CKO=

2x+1

2x+2

·OH，
∴y=S_△OKC：S_POKD=

1

2x+1

（0＜x≤1）．
（1）证明：直角三角形PFC中，
∵O是斜边PC的中点，
∴OP=OF=OC，
∴∠PCF=∠KFC，
∵∠PFC=∠KCF=90°，FC=FC，
∴△PCF≌△KFC，
∴PF=CK；

（2）解：过O作OH⊥CD于H，
∵PF=CD，PF∥CK，
∴四边形PFCK应该是矩形，
∴O也平分KF，
∴OH是三角形KFC的中位线，
∴OH=

1

2

FC，
∵GD∥BC，
∴△GPD∽△CPB，
∴

GD

BC

=

PE

PF

，
∵GD=x，BC=CD=1，PE+PF=1，
∴

x

1

=

1-PF

PF

，
∴PF=CK=

1

x+1

，
∴S_△CKO=

1

2

·CK·OH=

1

2x+2

·OH，
∵S_△CPD=

1

2

·CD·CF=

1

2

·CF=OH，
∴S_POKD=S_△CPD-S_△CKO=

2x+1

2x+2

·OH，
∴y=S_△OKC：S_POKD=

1

2x+1

（0＜x≤1）．