试题

（2011·南开区一模）已知，点Q是正方形ABCD内的一点，连QA、QB、QC．
（I）将△QAB绕点B顺针旋转90°到△Q'CB的位置（如图①所示）．若QA=1，QB=2，∠AQB=135°，求QC的长．
（II）如图②，若QA²+QC²=2QB²，请说明点Q必在对角线AC上．

解：（I）解：△BQ'C由△BQA旋转得到，
∴Q'C=QA=1，BQ'=BQ=2，∠BQ'C=∠BQA=135°，∠Q'BC=∠ABQ，
∴∠QBQ'=∠ABC=90°（1分）
连接QQ'，则∠QQ'B=∠Q'QB=45°（2分）
∴QQ′=

2

QB=2

2

．（3分）∠QQ'C=135°-45°=90°（4分）
在Rt△QQ'C中，QC=

Q′Q2+Q′C2

=

(2 2 )2+12

=3（5分）

（II）证明：过Q点作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N（6分）
设正方形的边长为a，QM=x，QN=y，
则AM=a-y，CN=a-x（7分）
在Rt△QMA中，QA²=QM²+AM²=x²+（a-y）²
在Rt△QNC中，QC²=QN²+CN²=y²+（a-x）²
在Rt△QMB中，QB²=QM²+BM²=x²+y²（8分）
∵QA²+QC²=2QB²
∴x²+（a-y）²+y²+（a-x）²=2（x²+y²）
得a=x+y（9分）
∴AM=QM∴∠MAQ=45°
∴Q点在对角线AC上（10分）
解：（I）解：△BQ'C由△BQA旋转得到，
∴Q'C=QA=1，BQ'=BQ=2，∠BQ'C=∠BQA=135°，∠Q'BC=∠ABQ，
∴∠QBQ'=∠ABC=90°（1分）
连接QQ'，则∠QQ'B=∠Q'QB=45°（2分）
∴QQ′=

2

QB=2

2

．（3分）∠QQ'C=135°-45°=90°（4分）
在Rt△QQ'C中，QC=

Q′Q2+Q′C2

=

(2 2 )2+12

=3（5分）

（II）证明：过Q点作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N（6分）
设正方形的边长为a，QM=x，QN=y，
则AM=a-y，CN=a-x（7分）
在Rt△QMA中，QA²=QM²+AM²=x²+（a-y）²
在Rt△QNC中，QC²=QN²+CN²=y²+（a-x）²
在Rt△QMB中，QB²=QM²+BM²=x²+y²（8分）
∵QA²+QC²=2QB²
∴x²+（a-y）²+y²+（a-x）²=2（x²+y²）
得a=x+y（9分）
∴AM=QM∴∠MAQ=45°
∴Q点在对角线AC上（10分）