试题

（2011·婺城区模拟）如图1，在直角坐标系xoy中，抛物线L：y=-x²-2x+2与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA上；如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）﹒
（1）B、C两点的坐标分别为、；
（2）当tanα﹦

1

2

时，抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tanα的值；若不存在，请说明理由﹒

解：（1）∵抛物线L：y=-x²-2x+2与y轴交于点C
∴y=2，
∴x=0或x=-2，
∴B（-2，2），
C（0，2）．

（2）存在﹒设旋转后的正方形OA₁B₁C₁的边B₁C₁交y轴于点D﹒
抛物线的对称轴x=-1交OA₁于点E，交x轴于点F﹒
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴tanα=

C1D

OC1

=

1

2

，
∴C1D=

1

2

OC1=1，
即点D是B₁C₁的中点﹒
①当点B₁为直角顶点，显然A₁B₁与直线x=1的交点P₁即为所求﹒
由Rt△EFO∽Rt△EA₁P₁，可得P₁点坐标为（-1，2

5

-2）；
②当点C₁为直角顶点，显然射线C₁O与直线x=1的交点P₃即为所求﹒
由Rt△OFP₃易得P₃点的坐标为（-1，-2）；
③当B₁C₁为斜边时，以B₁C₁为直径的圆与直线x=1的交点即为所求，
∵B₁C₁的中点D到直线x=1的距离恰好等于1，
∴以B₁C₁为直径的圆与直线x=1的交点只有一个P₂﹒
又易得OD=

5

，∴P₂点的坐标为（-1，

5

）﹒
故满足题设条件的P点有三个：P₁（-1，2

5

-2），P₂（-1，

5

），P₃（-1，-2）；

（3）存在﹒显然在如图两种情况中的P₁点、P₂点符合条件﹒
由图1易得tanα=

3

；
由图2中Rt△P₂A₁E∽Rt△OFE可得
tanα=

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．