试题

（2011·鹤岗模拟）如图，O是边长为a的正方形ABCD的对称中心，P为OD上一点，OP=b（0＜b＜

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a），连接AP，把一个边长均大于

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a的直角三角板的直角顶点放置于P点处，让三角板绕P点旋转，旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的BC、CD边（含端点）相交，其交点为E、F．
（1）在旋转过程中，PE的长能否与AP的长相等？若能，请作出此时点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
（2）探究在旋转过程中，线段EF与AP长的大小关系，并对你得出的结论给予证明．

解：（1）在旋转过程中，PE的长能与AP的长相等．如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，
∴△BPA≌△BPC，
∴PA=PC，
∴当PE运动到PC位置时（点E与C重合）时，PE=AP；

（2）线段EF≥AP．理由如下：
过P点作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，连EF，MN，PC，如图，
∴PE＞PN，PF＞PM，
而EF=

PE2+PF2

，MN=

PN2+PM2

，
∴EF＞MN，
又∵MN=PC=PA，
∴EF＞PA，
当点E与N重合，则F点与M重合，此时EF=PA，
∴在旋转过程中，线段EF≥AP．
解：（1）在旋转过程中，PE的长能与AP的长相等．如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，
∴△BPA≌△BPC，
∴PA=PC，
∴当PE运动到PC位置时（点E与C重合）时，PE=AP；

（2）线段EF≥AP．理由如下：
过P点作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，连EF，MN，PC，如图，
∴PE＞PN，PF＞PM，
而EF=

PE2+PF2

，MN=

PN2+PM2

，
∴EF＞MN，
又∵MN=PC=PA，
∴EF＞PA，
当点E与N重合，则F点与M重合，此时EF=PA，
∴在旋转过程中，线段EF≥AP．