试题

如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接BE、DE．
（1）证明：BE=DE；
（2）设△ADE、△CDE的面积分别为S₁、S₂，已知AC=4，|S₁-S₂|=2，求AE的长度．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE=∠BAE=45°，AD=AB，
在△ADE和△ABE中

AE=AE ∠DAE=∠BAE AD=AB

，
∴△ADE≌△ABE，
∴BE=DE；

（2）连DB交AC与O点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC与DB互相垂直平分，
∴OD=

1

2

AC=2，
∴S₁=

1

2

·OD·AE=AE，S₂=

1

2

·OD·EC=EC，
而EC=4-AE，
∴S₂=4-AE，
而|S₁-S₂|=2，即|AE-4+AE|=2，
∴|AE-2|=1，
∴AE-2=1或AE-2=-1，
∴AE=3或1．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE=∠BAE=45°，AD=AB，
在△ADE和△ABE中

AE=AE ∠DAE=∠BAE AD=AB

，
∴△ADE≌△ABE，
∴BE=DE；

（2）连DB交AC与O点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC与DB互相垂直平分，
∴OD=

1

2

AC=2，
∴S₁=

1

2

·OD·AE=AE，S₂=

1

2

·OD·EC=EC，
而EC=4-AE，
∴S₂=4-AE，
而|S₁-S₂|=2，即|AE-4+AE|=2，
∴|AE-2|=1，
∴AE-2=1或AE-2=-1，
∴AE=3或1．