试题

如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．
（1）由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
（2）连接DF，如果正方形的边长为2，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果正方形的边长为2，FG的长为

5

2

，求点C到直线DE的距离．

解：（1）BF+AG=AE．

证明：过点F作FH⊥DA，垂足为H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=

AD2+AE2

=

4+x2

，
∵S_△DGF=

1

2

FG·DE，
∴y=

4+x2

2

，
∴解析式为：y=

4+x2

2

，定义域为0＜x＜2．

（3）连接CE，作CP⊥DE于P，S_△CDE=

1

2

CD·AD=2，
∴S_△CDE=

1

2

DE·CP=2，
∵DE=FG=

5

2

，

∴

1

2

·

5

2

·CP=2，
∴CP=

8

5

，
∴点C到直线DE的距离为

8

5

．
解：（1）BF+AG=AE．

证明：过点F作FH⊥DA，垂足为H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=

AD2+AE2

=

4+x2

，
∵S_△DGF=

1

2

FG·DE，
∴y=

4+x2

2

，
∴解析式为：y=

4+x2

2

，定义域为0＜x＜2．

（3）连接CE，作CP⊥DE于P，S_△CDE=

1

2

CD·AD=2，
∴S_△CDE=

1

2

DE·CP=2，
∵DE=FG=

5

2

，

∴

1

2

·

5

2

·CP=2，
∴CP=

8

5

，
∴点C到直线DE的距离为

8

5

．