试题

题目：
青果学院如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若等边△AEF的周长为6，求正方形ABCD的边长．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD
AE=AF
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；

（2）解：∵等边△AEF的周长是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC=
2
，
设BE=x，则AB=x+
2
，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+
2
）2+x2=4，
解得x1=
-
2
+
6
2
或x2=
-
2
-
6
2
（舍去），
∴AB=
-
2
+
6
2
+
2
=
2
+
6
2
，
∴正方形ABCD的边长为
2
+
6
2
．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD
AE=AF
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；

（2）解：∵等边△AEF的周长是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC=
2
，
设BE=x，则AB=x+
2
，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+
2
）2+x2=4，
解得x1=
-
2
+
6
2
或x2=
-
2
-
6
2
（舍去），
∴AB=
-
2
+
6
2
+
2
=
2
+
6
2
，
∴正方形ABCD的边长为
2
+
6
2
．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；
（2）根据等边△AEF的周长是6，得出AE=EF=AF的长，再根据（1）的证明得出CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x，则AB=x+
2
，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，求出x的值，即可得出正方形ABCD的边长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质以及勾股定理的运用要熟练掌握．
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