试题

已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．
（1）设AE=x，四边形AMND的面积为 S，求 S关于x 的函数解析式，并指明该函数的定义域；
（2）当AM为何值时，四边形AMND的面积最大？最大值是多少？
（3）点M能是AB边上任意一点吗？请求出AM的取值范围．

解：（1）依题意，点B和E关于MN对称，则ME=MB=4-AM，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²
即AM²+x²=（4-AM）²，
解得AM=2-

1

8

x²，
作MF⊥DN于F，则MF=AB，且∠MFN=90°，∠BMF=90°，
∵沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处
∴MN⊥BE，
∴∠ABE=90°-∠BMN，
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE，
在△FMN和△ABE中

∠A=∠MFN AB=MF ∠ABE=∠FMN

，
∴Rt△FMN≌Rt△ABE（ASA），
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-

1

8

x²+x，
∴S=

1

2

（AM+DN）×AD，
=

1

2

×（2-

1

8

x²+2-

1

8

x²+x）×4，
=-

1

2

x²+2x+8．其中0≤x＜4，

（2）∵S=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴当x=2时，S_最大=10，
此时，AM=2-

1

8

×2²=1.5，
答：当AM=1.5时，四边形AMND的面积最大，为10．

（3）不能．∵AM＜ME，BM=ME，
AM+BM=4，
∴2AM＜4，
∴AM＜2，
当AM=2时，A和E重合，
∴AM的取值范围是：0＜AM≤2．
解：（1）依题意，点B和E关于MN对称，则ME=MB=4-AM，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²
即AM²+x²=（4-AM）²，
解得AM=2-

1

8

x²，
作MF⊥DN于F，则MF=AB，且∠MFN=90°，∠BMF=90°，
∵沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处
∴MN⊥BE，
∴∠ABE=90°-∠BMN，
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE，
在△FMN和△ABE中

∠A=∠MFN AB=MF ∠ABE=∠FMN

，
∴Rt△FMN≌Rt△ABE（ASA），
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-

1

8

x²+x，
∴S=

1

2

（AM+DN）×AD，
=

1

2

×（2-

1

8

x²+2-

1

8

x²+x）×4，
=-

1

2

x²+2x+8．其中0≤x＜4，

（2）∵S=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴当x=2时，S_最大=10，
此时，AM=2-

1

8

×2²=1.5，
答：当AM=1.5时，四边形AMND的面积最大，为10．

（3）不能．∵AM＜ME，BM=ME，
AM+BM=4，
∴2AM＜4，
∴AM＜2，
当AM=2时，A和E重合，
∴AM的取值范围是：0＜AM≤2．