试题

如图，正方形ABCD的两条对角线交于点O．
（1）若H为OC上一点，过A作BH的垂线，垂足为E，AE与BO相交于点G．试探索OH与OG的数量关系，并证明；
（2）若点H在OC的延长线上，过A作BH的垂线，交HB的延长线于点E，直线AE与OB相交于点G．（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

解：（1）OH=OG．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=B0，B0⊥AC（正方形两条对角线相等，互相垂直平分），
∴∠AOG=∠BOH=90°，（2分）
则∠OAG+∠OGA=90°，又AE⊥BH，
∴∠AEB=90°，则∠OBH+∠BGE=90°，
而∠OGA=∠BGE，
∴∠OAG=∠OBH，（4分）
∴△OAG≌△OBH（ASA），
则OH=OG；（6分）

（2）OH=OG成立．（无此步不扣分）（7分）
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=BO，BO⊥AC，
∴∠AOG=∠BOH=90°（8分）
则∠H+∠HBO=90°，又AE⊥BH，
∴∠GEB=90°，则∠G+∠GBE=90°，
又∠HBO=∠GBE，
∴∠H=∠G（9分）
∴△AOG≌△BOH．（AAS）
则OG=OH．（11分）
解：（1）OH=OG．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=B0，B0⊥AC（正方形两条对角线相等，互相垂直平分），
∴∠AOG=∠BOH=90°，（2分）
则∠OAG+∠OGA=90°，又AE⊥BH，
∴∠AEB=90°，则∠OBH+∠BGE=90°，
而∠OGA=∠BGE，
∴∠OAG=∠OBH，（4分）
∴△OAG≌△OBH（ASA），
则OH=OG；（6分）

（2）OH=OG成立．（无此步不扣分）（7分）
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=BO，BO⊥AC，
∴∠AOG=∠BOH=90°（8分）
则∠H+∠HBO=90°，又AE⊥BH，
∴∠GEB=90°，则∠G+∠GBE=90°，
又∠HBO=∠GBE，
∴∠H=∠G（9分）
∴△AOG≌△BOH．（AAS）
则OG=OH．（11分）