试题

如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F，试判断EF与AP的数量关系，并说明理由．

解：法一：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，

AD=CD ∠PDA=∠PDC PD=PD

，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP．

法二：延长FP交AB于点G，
则四边形PEBG是正方形，
∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°，
∵AG=AB-BG，PF=FG-PG，
∴AG=PF，
在△APG和△FEP中，

AG=FP ∠PGA=∠EPF PG=PE

，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴AP=EF．
解：法一：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，

AD=CD ∠PDA=∠PDC PD=PD

，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP．

法二：延长FP交AB于点G，
则四边形PEBG是正方形，
∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°，
∵AG=AB-BG，PF=FG-PG，
∴AG=PF，
在△APG和△FEP中，

AG=FP ∠PGA=∠EPF PG=PE

，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴AP=EF．