试题

题目：
青果学院如图，边长为8的正方形ABCD中，M是BC上的一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H，若CM=2，则GH=
10
10
．
答案
10

青果学院解：∵正方形ABCD的边长为8，CM=2，
∴BM=8-2=6，
根据勾股定理，AM=
AB2+BM2
=
82+62
=10，
如图，过点B作BN∥GH，则四边形BNHG是平行四边形，
∴BN=GH，
∵GH是AM的垂直平分线，
∴∠CBN+∠AMB=90°，
又∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM和△BCN中，
∠BAM=∠CBN
AB=BC
∠ABC=∠BCN=90°
，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM=BN，
∴GH=AM=10．
故答案为：10．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
先求出BM，再根据勾股定理列式求出AM，过点B作BN∥GH，可得四边形BNHG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BN=GH，再根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CBN，然后利用“角边角”证明△ABM和△BCN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BN，从而得解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
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