试题

已知如图1，线段AB、CD相交于O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数个；
（3）在图2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：．（直接写出结论即可）
（5）如图3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．

解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个，
所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠D=46°，∠B=30°，
∴∠OAD+46°=∠OCB+30°，
∴∠OCB-∠OAD=16°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM=

1

2

∠OAD，∠PCM=

1

2

∠OCB，
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=

1

2

（∠OAD-∠OCB）+∠D=

1

2

×（-16°）+46°=38°；

（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM=

1

2

∠OAD，∠PCM=

1

2

∠OCB，
∴

1

2

（∠D-∠B）=∠D-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D；

（5）如图，连接AD，则∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠F=∠EDA+∠FAD，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．