试题

平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．

证明：假设A、B，C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，
当ABCD构成凸四边形时，可得各角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；
当ABCD构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾．
故在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．
证明：假设A、B，C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，
当ABCD构成凸四边形时，可得各角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；
当ABCD构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾．
故在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．