试题

如图，六边形ABCDEF的六个内角相等，若其连续四边长依次为1，9，9，7，（单位：），请你求出这个六边形的周长．

解：法一：如图，连接DF，则△DEF是等腰三角形，
∵六边形ABCDEF的六个内角相等，
∴∠DEF=

1

6

（6-2）·180°=120°，
∴∠EDF=∠EFD=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠AFD=120°-30°=90°，
同理可得∠CDF=90°，
∴DF⊥AF，AF∥CD，
如图，分别作DF的垂线，垂线AH，CI，
则∠ABH=∠CBI=120°-90°=30°，
∴AH=AB·sin60°，CI=BC·sin60·，
∴AB+BC=（AH+CI）÷sin60°=（AH+CI）

2 3

3

=DF·

2 3

3

，
在△DEF中，DF=2×9sin60°=9

3

，
∴AB+BC=9

3

×

2 3

3

=18，
∴这个六边形的周长是1+9+9+7+18=44．

法二：作直线AB、CD、EF，它们分别两两相交于点G、H、P，
∵六边形ABCDEF的六个内角相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠PAF=∠PFA=∠HED=∠HDE=∠GCB=∠GBC=60°，
∴△GHP、△GBC、△HDE和△HAF都是等边三角形，
∴PF=PA=AF=1，HE=HD=ED=9，PG=GH=CG=PH=1+9+9=19，
∴BC=CG=BG=GH-CD-DH=19-9-7=3，
∴AB=PG-PA-BG=19-3-1=15，
∴这个六边形的周长是1+9+9+7+3+15=44．
故答案为：44．
解：法一：如图，连接DF，则△DEF是等腰三角形，
∵六边形ABCDEF的六个内角相等，
∴∠DEF=

1

6

（6-2）·180°=120°，
∴∠EDF=∠EFD=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠AFD=120°-30°=90°，
同理可得∠CDF=90°，
∴DF⊥AF，AF∥CD，
如图，分别作DF的垂线，垂线AH，CI，
则∠ABH=∠CBI=120°-90°=30°，
∴AH=AB·sin60°，CI=BC·sin60·，
∴AB+BC=（AH+CI）÷sin60°=（AH+CI）

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=DF·

2 3

3

，
在△DEF中，DF=2×9sin60°=9

3

，
∴AB+BC=9

3

×

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=18，
∴这个六边形的周长是1+9+9+7+18=44．

法二：作直线AB、CD、EF，它们分别两两相交于点G、H、P，
∵六边形ABCDEF的六个内角相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠PAF=∠PFA=∠HED=∠HDE=∠GCB=∠GBC=60°，
∴△GHP、△GBC、△HDE和△HAF都是等边三角形，
∴PF=PA=AF=1，HE=HD=ED=9，PG=GH=CG=PH=1+9+9=19，
∴BC=CG=BG=GH-CD-DH=19-9-7=3，
∴AB=PG-PA-BG=19-3-1=15，
∴这个六边形的周长是1+9+9+7+3+15=44．
故答案为：44．