试题

试求出所有整数n，使得代数式2n²+n-29的值是某两个连续自然数的平方和．

解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n²+n-29=x²+（x+1）²，
化简为2x²+2x+30-2n²-n=0   ①
∴x=

-2± 4-8(30-2n2-n)

4

=

-2±2 4n2+2n-59

4

②
因为x是自然数，所以4n²+2n-59必为某个整数的平方（完全平方数），
因此设4n²+2n-59=k²③
∴n=

-2± 4-16(-59-k2)

8

=

-2±2 4k2+237

8

④
因为n是整数，所以4k²+237必为某个整数的平方（完全平方数），
设4k²+237=a²⑤
则有a²-4k²=237，即（a+2k）（a-2k）=237，所以有

a+2k=237 a-2k=1

或

a+2k=79 a-2k=3

，
解之得

a=119 k=59

或

a=41 k=19

由⑤式得4k²+237=119²或41²，
代入④式得n₁=10，n₂=-30，
∴符合条件的整数n是10或-30．
解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n²+n-29=x²+（x+1）²，
化简为2x²+2x+30-2n²-n=0   ①
∴x=

-2± 4-8(30-2n2-n)

4

=

-2±2 4n2+2n-59

4

②
因为x是自然数，所以4n²+2n-59必为某个整数的平方（完全平方数），
因此设4n²+2n-59=k²③
∴n=

-2± 4-16(-59-k2)

8

=

-2±2 4k2+237

8

④
因为n是整数，所以4k²+237必为某个整数的平方（完全平方数），
设4k²+237=a²⑤
则有a²-4k²=237，即（a+2k）（a-2k）=237，所以有

a+2k=237 a-2k=1

或

a+2k=79 a-2k=3

，
解之得

a=119 k=59

或

a=41 k=19

由⑤式得4k²+237=119²或41²，
代入④式得n₁=10，n₂=-30，
∴符合条件的整数n是10或-30．