试题

（2009·虹口区二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；
（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．

解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
过点E作EH⊥CB于H．
则可求得EH=

3

5

x．
∴y=

1

2

×4×

3

5

x=

6

5

x（0＜x≤

16

5

或5＜x≤10）．

（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．
则OG=

3

5

OB=

3

5

×

10+x

2

=

3

10

（10+x），GD=CD-CG=4-

2

5

（10-x）=

2

5

x，
∴OD=

9 100 (10+x)2+ 4 25 x2

．
若两圆外切，则可得

1

2

BC+

1

2

AE=OD，
∴（BC+AE）²=4OD²，
∴（8+10-x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=

20

3

．
若两圆内切，得|

1

2

BC-

1

2

AE|=OD，
∴（BC-AE）²=4OD²，
∴（8-10+x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=-

20

7

（舍去），所以两圆内切不存在．
所以，线段BE的长为

20

3

．

（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．
①当∠BEF为锐角时，
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．
根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=

16

5

-x，
由（1）知：EH=

3

5

x，
∴

16

5

-x=

3

5

x，
∴x=2．
∴y=

6

5

×2=

12

5

．
②当∠BEF为钝角时，同理可求得x-

16

5

=

3

5

x，
∴x=8．
∴y=

6

5

×8=

48

5

．
所以，△BED的面积是

12

5

或

48

5

．
解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
过点E作EH⊥CB于H．
则可求得EH=

3

5

x．
∴y=

1

2

×4×

3

5

x=

6

5

x（0＜x≤

16

5

或5＜x≤10）．

（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．
则OG=

3

5

OB=

3

5

×

10+x

2

=

3

10

（10+x），GD=CD-CG=4-

2

5

（10-x）=

2

5

x，
∴OD=

9 100 (10+x)2+ 4 25 x2

．
若两圆外切，则可得

1

2

BC+

1

2

AE=OD，
∴（BC+AE）²=4OD²，
∴（8+10-x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=

20

3

．
若两圆内切，得|

1

2

BC-

1

2

AE|=OD，
∴（BC-AE）²=4OD²，
∴（8-10+x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=-

20

7

（舍去），所以两圆内切不存在．
所以，线段BE的长为

20

3

．

（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．
①当∠BEF为锐角时，
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．
根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=

16

5

-x，
由（1）知：EH=

3

5

x，
∴

16

5

-x=

3

5

x，
∴x=2．
∴y=

6

5

×2=

12

5

．
②当∠BEF为钝角时，同理可求得x-

16

5

=

3

5

x，
∴x=8．
∴y=

6

5

×8=

48

5

．
所以，△BED的面积是

12

5

或

48

5

．