试题

工人师傅要在如图所示的一边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的图形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆锥形模型．
（1）请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案；（画出示意图）
（2）何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高？求出此时圆锥模型底面圆的半径．

解：（1）设计方案示意图如下．


（2）∵①图扇形面积为：

90π×402

360

=400π，
②图面积为：

1

2

π×（20）²+π×10²=300π，
③图扇形面积为：

60π×402

360

=

800π

3

，
∴使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案如图（1）所示．
设圆的半径为r，扇形的半径为R，依题意有：
扇形弧长等于圆锥底面周长，
∴

1

4

×2R×π=2πr，则R=4r．
∵正方形的边长为40cm，∴BD=40

2

cm．
∵⊙O与扇形的切点为E，圆心O在BD上，
∴R+r+

2

r=40

2

，解得r=

200 2 -80

23

cm．
解：（1）设计方案示意图如下．


（2）∵①图扇形面积为：

90π×402

360

=400π，
②图面积为：

1

2

π×（20）²+π×10²=300π，
③图扇形面积为：

60π×402

360

=

800π

3

，
∴使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案如图（1）所示．
设圆的半径为r，扇形的半径为R，依题意有：
扇形弧长等于圆锥底面周长，
∴

1

4

×2R×π=2πr，则R=4r．
∵正方形的边长为40cm，∴BD=40

2

cm．
∵⊙O与扇形的切点为E，圆心O在BD上，
∴R+r+

2

r=40

2

，解得r=

200 2 -80

23

cm．