试题

（2005·新疆）如果二次函数y=ax²+2x+c的图象的最高点是M（x₀，y₀），并且二次函数图象过点P（1，

3

2

），若x取x₀±n（n=1，2，3…）时，相应的函数值为y₀-

1

2

n²．
（1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B，求△PAB的面积．

解：（1）将P（1，

3

2

），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2=

3

2

，
并且a＜0，
∴x₀=-

1

a

，y₀=

4ac-4

4a

=

ac-1

a

，
∴y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

．
当x=x₀±n时，y=y₀-

1

2

n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

得：y₀-

1

2

n²=a（x₀±n+

1

a

）²+

ac-1

a

，
整理得：an²+

1

2

n²=0，
解得：a=-

1

2

，
把a=-

1

2

代入a+c+2=

3

2

得：c=0，
∴y=-

1

2

x²+2x；

（2）由抛物线解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，

3

2

），
∴S_△PAB=

1

2

×4×

3

2

=3．
解：（1）将P（1，

3

2

），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2=

3

2

，
并且a＜0，
∴x₀=-

1

a

，y₀=

4ac-4

4a

=

ac-1

a

，
∴y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

．
当x=x₀±n时，y=y₀-

1

2

n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

得：y₀-

1

2

n²=a（x₀±n+

1

a

）²+

ac-1

a

，
整理得：an²+

1

2

n²=0，
解得：a=-

1

2

，
把a=-

1

2

代入a+c+2=

3

2

得：c=0，
∴y=-

1

2

x²+2x；

（2）由抛物线解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，

3

2

），
∴S_△PAB=

1

2

×4×

3

2

=3．