试题

（2001·安徽）如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S_△DMC、S_△DAC、S_△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，则有S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．
（1）如图2，M是AB的中点，AB与CD不平行时，作AE、MN、BF分别垂直DC于E、N、F三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图3中，AB与CD相交于点O时，问S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．

解：（1）当AB和CD不平行时，结论①仍然成立．
如图，由已知，可得AE、BF和MN两两平行，
∴四边形AEFB是梯形．
∵M为AB的中点，
∴MN是梯形AEFB的中位线．
∴MN=

1

2

（AE+BF）．
∴S_△DAC+S_△DBC=

1

2

DC·2MN=2S_△DMC，
∴S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．

（2）∵M为AB的中点，
∴S_△ADM=S_△BDM，S_△ACM=S_△BCM，
∴S_△DCM=S_△MOD+S_△MOC
=（S_△AMD-S_△AOD）+（S_△AMC-S_△AOC）
=（S_△BDM+S_△BCM）-（S_△AOD+S_△AOC）
=（S_△DBC-S_△DMC）-S_△DAC，
∴2S_△DCM=S_△DBC-S_△DAC，
∴S_△DMC=

S△DBC-S△DAC

2

．
解：（1）当AB和CD不平行时，结论①仍然成立．
如图，由已知，可得AE、BF和MN两两平行，
∴四边形AEFB是梯形．
∵M为AB的中点，
∴MN是梯形AEFB的中位线．
∴MN=

1

2

（AE+BF）．
∴S_△DAC+S_△DBC=

1

2

DC·2MN=2S_△DMC，
∴S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．

（2）∵M为AB的中点，
∴S_△ADM=S_△BDM，S_△ACM=S_△BCM，
∴S_△DCM=S_△MOD+S_△MOC
=（S_△AMD-S_△AOD）+（S_△AMC-S_△AOC）
=（S_△BDM+S_△BCM）-（S_△AOD+S_△AOC）
=（S_△DBC-S_△DMC）-S_△DAC，
∴2S_△DCM=S_△DBC-S_△DAC，
∴S_△DMC=

S△DBC-S△DAC

2

．