试题

（2007·潮南区模拟）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，请探索∠EFB与∠FGC的数量关系，并证明你的结论．

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C，
∴∠B=∠GFC，
∴AB∥GF，
又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形；

（2）解：若四边形AEFG是矩形，则∠EFB=

1

2

∠FGC．
证明如下：过G作GH⊥FC，垂足为H，
∵GF=GC，
∴∠FGH=

1

2

∠FGC，且∠FGH+∠GFC=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠GFH=90°，
∴∠EFB=∠FGH，
∴∠EFB=

1

2

∠FGC．
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C，
∴∠B=∠GFC，
∴AB∥GF，
又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形；

（2）解：若四边形AEFG是矩形，则∠EFB=

1

2

∠FGC．
证明如下：过G作GH⊥FC，垂足为H，
∵GF=GC，
∴∠FGH=

1

2

∠FGC，且∠FGH+∠GFC=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠GFH=90°，
∴∠EFB=∠FGH，
∴∠EFB=

1

2

∠FGC．