试题

（2009·普陀区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求证：BC=2CD；
（3）如AE=1，求梯形ABCD的面积．

（1）解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AD，
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2．
∵四边形ABCD是梯形，
AB=DC，∠C=60°，
∴∠1=∠2=30°．
即∠ABD=30°．

（2）证明：∵∠C=60°，∠1=∠2=30°，
∴∠BDC=90°．
∴BC=2CD．

（3）
解：∵AE⊥BD，AE=1，
∴AB=2，BE=

3

．
∴CD=2，BD=2

3

．
∴S_梯形ABCD=

1

2

×2

3

×1+

1

2

×2×2

3

=3

3

．
（1）解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AD，
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2．
∵四边形ABCD是梯形，
AB=DC，∠C=60°，
∴∠1=∠2=30°．
即∠ABD=30°．

（2）证明：∵∠C=60°，∠1=∠2=30°，
∴∠BDC=90°．
∴BC=2CD．

（3）
解：∵AE⊥BD，AE=1，
∴AB=2，BE=

3

．
∴CD=2，BD=2

3

．
∴S_梯形ABCD=

1

2

×2

3

×1+

1

2

×2×2

3

=3

3

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