试题

如图，单位正方形ABCD被EF、GH分成相等的矩形．试问：是否存在另外的分法，既能将单位正方形分成面积相等的三个多边形，又能使三个多边形的公共边界小于EF与GH的和．

解：如图，

设正方形ABCD的边长为1，
由于分成三面积相等，可以计算得出EF+GH=1+

2

3

=

5

3

，
存在，
假如能作出符合条件的图形如图（2），
设GH∥AD，延长HG交AB于N，过E作EQ⊥NH于Q，GH=x，
由梯形的面积公式得：

1

2

（x+DE）·

1

2

=

1

3

，
即：DE=

4

3

-x，
∴AE=1-（

4

3

-x）=-

1

3

+x，
QG=1-（-

1

3

+x）-x=

4

3

-2x，
又∵EQ=

1

2

，
在△EQG中由勾股定理得：EG=

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

，
同理：FG=

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

，
GH+EG+GF=x+2

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

＜

5

3

，
解得：0＜x＜

22

45

，
只要符合上面条件的GH的值都能画出，
故答案为：存在．
解：如图，

设正方形ABCD的边长为1，
由于分成三面积相等，可以计算得出EF+GH=1+

2

3

=

5

3

，
存在，
假如能作出符合条件的图形如图（2），
设GH∥AD，延长HG交AB于N，过E作EQ⊥NH于Q，GH=x，
由梯形的面积公式得：

1

2

（x+DE）·

1

2

=

1

3

，
即：DE=

4

3

-x，
∴AE=1-（

4

3

-x）=-

1

3

+x，
QG=1-（-

1

3

+x）-x=

4

3

-2x，
又∵EQ=

1

2

，
在△EQG中由勾股定理得：EG=

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

，
同理：FG=

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

，
GH+EG+GF=x+2

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

＜

5

3

，
解得：0＜x＜

22

45

，
只要符合上面条件的GH的值都能画出，
故答案为：存在．