试题

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB，使EB=AD，连接AE．
（1）求证：AE=CA；
（2）若CA平分∠BCD，AC⊥AB，AD=2，试求四边形AECD的周长和面积．

（1）证明：法一：∵在梯形ABCD中，AD∥BC
∴∠BAD=∠ABE，AB=CD
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABE=∠D．
在△AEB和△CAD中，

AB=CD ∠ABE=∠D BE=AD

∴△AEB≌△CAD（SAS），
∴AE=CA．
法二：连接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）解：已知∠ABC=∠DCB，又AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30度．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC=2．
∴AB=2，
则BC=4，AC=

BC2-AB2

=2

3

．
∴四边形AECD的周长为AD+DC+CE+AE=2+2+6+2

3

=10+2

3

．
过A作AF⊥CE于F，则AF=

1

2

AC=

3

∴四边形AECD的面积为

1

2

(AD+CE)×AF=

1

2

(2+6)×

3

=4

3

．
（1）证明：法一：∵在梯形ABCD中，AD∥BC
∴∠BAD=∠ABE，AB=CD
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABE=∠D．
在△AEB和△CAD中，

AB=CD ∠ABE=∠D BE=AD

∴△AEB≌△CAD（SAS），
∴AE=CA．
法二：连接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）解：已知∠ABC=∠DCB，又AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30度．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC=2．
∴AB=2，
则BC=4，AC=

BC2-AB2

=2

3

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∴四边形AECD的周长为AD+DC+CE+AE=2+2+6+2

3

=10+2

3

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过A作AF⊥CE于F，则AF=

1

2

AC=

3

∴四边形AECD的面积为

1

2

(AD+CE)×AF=

1

2

(2+6)×

3

=4

3

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