试题

如左图：直线y=kx+4k（k≠0）交x轴于点A，交y轴于点C，点M（2，m）为直线AC上一点，过点M的直线BD交x轴于点B，交y轴于点D．
（1）求

OC

OA

的值（用含有k的式子表示．）；
（2）若S_△BOM=3S_△DOM，且k为方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=

9

2

的根，求直线BD的解析式．
（3）如右图，在（2）的条件下，P为线段OD之间的动点（点P不与点O和点D重合），OE上AP于E，DF上AP于F，下列两个结论：①

AE+OE

DF

值不变；②

AE-OE

DF

值不变，请你判断其中哪一个结论是正确的，并说明理由并求出其值．
．

（1）解：当x=0时，y=4k，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0）C（0，4k），
由图象可知k＜0
∴OA=4，OC=-4k，
∴

OC

OA

=

-4k

4

=-k，
答：

OC

OA

的值是-k．

（2）解：∵(k+7)(k+5)-(k+6)(k+5)=

9

2

解得：k=-

1

2

，
∴直线AC的解析式为：y=-

1

2

x-2
当x=2时，y=-3，
∴M（2，-3），
过点M作ME⊥y轴于E
∴ME=2
∵S_△BOM=3S_△DOM
∴S_△BOD=4S_△DOM
又∵S△BOD=

OD·OB

2

S△DOM=

OD·ME

2

∴

OD·OB

2

=

OD·ME

2

×4
∴OB=4ME
∴OB=8
∴B（8，0），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0），M（2，-3）代入得：
则有

0=8k+b -3=2k+b

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直线BD的解析式为：y=

1

2

x-4，
答：直线BD的解析式为：y=

1

2

x-4．

（3）解：②

AE-OE

DF

值不变．理由如下：
过点O作OH⊥DF交DF的延长线于H，连接EH，
∵DF⊥AP
∴∠DFP=∠AOP=90°
又∠DPF=∠APO
∴∠ODH=∠OAE
∵点D在直线y=

1

2

x-4
∴D（0，-4）
∴OA=OD=4
又∵∠OHD=∠OEA=90°
∴△ODH≌△OAE（AAS），
∴AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA
∴∠EOH=∠HOD+∠EOD=∠EOA+∠EOD=90°，
∴∠OEH=45°
∴∠HEF=45°=∠FHE
∴FE=FH
∴等腰Rt△OHE≌等腰Rt△FHE
∴OE=OH=FE=HF
∴

AE-OE

DF

=

DH-HF

DF

=1，
（1）解：当x=0时，y=4k，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0）C（0，4k），
由图象可知k＜0
∴OA=4，OC=-4k，
∴

OC

OA

=

-4k

4

=-k，
答：

OC

OA

的值是-k．

（2）解：∵(k+7)(k+5)-(k+6)(k+5)=

9

2

解得：k=-

1

2

，
∴直线AC的解析式为：y=-

1

2

x-2
当x=2时，y=-3，
∴M（2，-3），
过点M作ME⊥y轴于E
∴ME=2
∵S_△BOM=3S_△DOM
∴S_△BOD=4S_△DOM
又∵S△BOD=

OD·OB

2

S△DOM=

OD·ME

2

∴

OD·OB

2

=

OD·ME

2

×4
∴OB=4ME
∴OB=8
∴B（8，0），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0），M（2，-3）代入得：
则有

0=8k+b -3=2k+b

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直线BD的解析式为：y=

1

2

x-4，
答：直线BD的解析式为：y=

1

2

x-4．

（3）解：②

AE-OE

DF

值不变．理由如下：
过点O作OH⊥DF交DF的延长线于H，连接EH，
∵DF⊥AP
∴∠DFP=∠AOP=90°
又∠DPF=∠APO
∴∠ODH=∠OAE
∵点D在直线y=

1

2

x-4
∴D（0，-4）
∴OA=OD=4
又∵∠OHD=∠OEA=90°
∴△ODH≌△OAE（AAS），
∴AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA
∴∠EOH=∠HOD+∠EOD=∠EOA+∠EOD=90°，
∴∠OEH=45°
∴∠HEF=45°=∠FHE
∴FE=FH
∴等腰Rt△OHE≌等腰Rt△FHE
∴OE=OH=FE=HF
∴

AE-OE

DF

=

DH-HF

DF

=1，