如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二...-青果题库-青果学院

题目：

如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．

答案

解：（1）∵A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，
∴AB=1，∠BAD=60°，
过B作BD⊥x轴于D，
在Rt△ABD中，AB=1，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

，
∴BD=

12-(

1

2

)2

=

3

2

，
∴OD=2-

1

2

=

3

2

，
∴B点的坐标是（

3

2

，

3

2

），
设直线AB的解析式是y=ax+b，
把（2，0）（

3

2

，

3

2

）代入y=ax+b中，得

2a+b=0

3

2

a+b=

3

2

，
解得

a=-

3

b=2

3

，
∴一次函数的解析式是y=-

3

x+2

3

；
（2）把（2，0）、（

3

2

，

3

2

）、（0，0）代入二次函数y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c=0

9

4

a+

3

2

b+c=

3

2

c=0

，
解得

a=-

2

3

b=

4

3

c=0

，
∴二次函数解析式是y=-

2

3

x2+

4

3

x；
（3）据图观察可知当x＜

3

2

或x＞2时，一次函数的值大于二次函数的值．
青果学院

解：（1）∵A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，
∴AB=1，∠BAD=60°，
过B作BD⊥x轴于D，
在Rt△ABD中，AB=1，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

，
∴BD=

12-(

1

2

)2

=

3

2

，
∴OD=2-

1

2

=

3

2

，
∴B点的坐标是（

3

2

，

3

2

），
设直线AB的解析式是y=ax+b，
把（2，0）（

3

2

，

3

2

）代入y=ax+b中，得

2a+b=0

3

2

a+b=

3

2

，
解得

a=-

3

b=2

3

，
∴一次函数的解析式是y=-

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x+2

3

；
（2）把（2，0）、（

3

2

，

3

2

）、（0，0）代入二次函数y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c=0

9

4

a+

3

2

b+c=

3

2

c=0

，
解得

a=-

2

3

b=

4

3

c=0

，
∴二次函数解析式是y=-

2

3

x2+

4

3

x；
（3）据图观察可知当x＜

3

2

或x＞2时，一次函数的值大于二次函数的值．

考点梳理

待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数与不等式（组）．

试题