试题

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E为CD边的中点，BE⊥CD，且∠FBE=2∠EBC．在线段AD上取一点F，在线段BE上取一点G，使得BF=BG，连接CG．
（1）若AB=AF，EG=

2

，求线段CG的长；
（2）求证：∠EBC+

1

3

∠ECG=30°．

解：（1）连接BD，
∵点E为CD边的中点，BE⊥CD
∴BD=BC
∴∠DBE=∠CBE
∵∠FBE=2∠EBC，
∴∠DBE=∠CBE=∠DBF
∵BF=BG，
∴△FBD≌△GBC，
∴∠DFB=∠CGB
∵∠DFB+∠AFB=∠CGB+∠CGE=180°
∴∠AFB=∠CGE
∵AB=AF，∠A=90°，
∴∠AFB=∠CGE=45°
∴EG=CE=

2

，
∴在Rt△EGC中，
∴GC=

EG2+CE2

=2；                  

（2）由（1）可知：
△FBD≌△GBC
∴∠FDB=∠DBC=2∠EBC，
∵∠GBC+∠GCB=∠EGC，
∴∠EGC=∠GBC+2∠EBC=3∠EBC，
∵∠EGC+∠ECG=90°，
∴3∠EBC+∠ECG=90°，
∴∠EBC+

1

3

∠ECG=30°．
解：（1）连接BD，
∵点E为CD边的中点，BE⊥CD
∴BD=BC
∴∠DBE=∠CBE
∵∠FBE=2∠EBC，
∴∠DBE=∠CBE=∠DBF
∵BF=BG，
∴△FBD≌△GBC，
∴∠DFB=∠CGB
∵∠DFB+∠AFB=∠CGB+∠CGE=180°
∴∠AFB=∠CGE
∵AB=AF，∠A=90°，
∴∠AFB=∠CGE=45°
∴EG=CE=

2

，
∴在Rt△EGC中，
∴GC=

EG2+CE2

=2；                  

（2）由（1）可知：
△FBD≌△GBC
∴∠FDB=∠DBC=2∠EBC，
∵∠GBC+∠GCB=∠EGC，
∴∠EGC=∠GBC+2∠EBC=3∠EBC，
∵∠EGC+∠ECG=90°，
∴3∠EBC+∠ECG=90°，
∴∠EBC+

1

3

∠ECG=30°．