试题

如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD；    （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．

（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，
已知E是BD的中点，
∴AE⊥BD．

（2）解：延长AE交BC于G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠GBE，
又∵AE⊥BD（已证），
∴∠AEB=∠GEB，
BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，BG=AB=AD，
又∵F是AC的中点（已知），
所以由三角形中位线定理得：
EF=

1

2

CG=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD）
=

1

2

×（14-4）=5．
答：EF的长为5．
（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，
已知E是BD的中点，
∴AE⊥BD．

（2）解：延长AE交BC于G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠GBE，
又∵AE⊥BD（已证），
∴∠AEB=∠GEB，
BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，BG=AB=AD，
又∵F是AC的中点（已知），
所以由三角形中位线定理得：
EF=

1

2

CG=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD）
=

1

2

×（14-4）=5．
答：EF的长为5．