试题

在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=1，AB=AC，CD＜1，且∠BAC+∠BDC=180°，求CD的长．

解：作D关于BC的对称点E，连接AE、BE、CE，AE与BC交于点O
∵A到BC的距离等于E到BC的距离
∴OA=OE
又∵∠BAC+∠BDC=180度．
∴ABEC四点共圆
设：CD=CE=x，AB=AC=y，OA=OE=z，OB=u，OC=1-u
根据三角形AOB和COE相似，得：

1-u

z

=

z

u

=

x

y

①
根据三角形AOC和BOE相似，得：
y=

z

u

=

1-u

z

②
另外因为∠ABC=∠AEC=∠ACB，故：
△ACO∽△AEC，由此得到，y²=z×（2z）=2z²
即y=

2

z．
代入②得：
u=

2

2

由①得：x=z×

y

u

=

2

-1
所以CD的长为

2

-1．
解：作D关于BC的对称点E，连接AE、BE、CE，AE与BC交于点O
∵A到BC的距离等于E到BC的距离
∴OA=OE
又∵∠BAC+∠BDC=180度．
∴ABEC四点共圆
设：CD=CE=x，AB=AC=y，OA=OE=z，OB=u，OC=1-u
根据三角形AOB和COE相似，得：

1-u

z

=

z

u

=

x

y

①
根据三角形AOC和BOE相似，得：
y=

z

u

=

1-u

z

②
另外因为∠ABC=∠AEC=∠ACB，故：
△ACO∽△AEC，由此得到，y²=z×（2z）=2z²
即y=

2

z．
代入②得：
u=

2

2

由①得：x=z×

y

u

=

2

-1
所以CD的长为

2

-1．