试题

如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：
（1）F为BD的中点．
（2）△DEF为等边三角形．

（1）证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠ABC=∠A=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点；

（2）∵DE⊥AB，F为BD的中点，
∴DF=BF=EF，
∵∠ABD=30°，
∴∠BDE=90°-30°=60°，
∴△DEF为等边三角形．
（1）证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠ABC=∠A=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点；

（2）∵DE⊥AB，F为BD的中点，
∴DF=BF=EF，
∵∠ABD=30°，
∴∠BDE=90°-30°=60°，
∴△DEF为等边三角形．