试题

如图，梯形ABCD，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，连接AF，G为BC中点，连接DG交CF于M．
证明：（1）CM=AB；
（2）CF=AB+AF．

证明：（1）∵△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，
∴BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
又∵G为BC中点，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDC=45°，
在△ABD与△MCD中，

∠EBF=∠DCF DB=CD ∠ADB=∠MDC

，
∴△ABD≌△MCD，
∴CM=AB；

（2）∵△ABD≌△MCD，
∴AD=MD，
又∵G为BC中点，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDB=45°，
在△AFD与△MFD中，

AD=DM ∠ADB=∠MDF DF=DF

，
∴△AFD≌△MFD，
∴AF=MF；
∴CF=CM+MF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
证明：（1）∵△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，
∴BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
又∵G为BC中点，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDC=45°，
在△ABD与△MCD中，

∠EBF=∠DCF DB=CD ∠ADB=∠MDC

，
∴△ABD≌△MCD，
∴CM=AB；

（2）∵△ABD≌△MCD，
∴AD=MD，
又∵G为BC中点，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDB=45°，
在△AFD与△MFD中，

AD=DM ∠ADB=∠MDF DF=DF

，
∴△AFD≌△MFD，
∴AF=MF；
∴CF=CM+MF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．